Cómo calcular la imagen de una función: guía práctica y ejercicios

Cómo calcular la imagen de una función

La imagen de una función es el conjunto de valores que puede tomar la variable dependiente a partir de los valores que toma la variable independiente. En otras palabras, es el conjunto de números reales correspondiente a los valores de la variable dependiente cuando se le asignan diferentes valores a la variable independiente.

Dominio y recorrido de una función

Antes de calcular la imagen de una función, es importante entender el concepto de dominio y recorrido. El dominio de una función es el conjunto de valores que puede tomar la variable independiente, es decir, los valores para los cuales la función está definida. Por otro lado, el recorrido o imagen de una función es el conjunto de valores que puede tomar la variable dependiente.

Ejemplo 1: Función f(x) = √(x-3)

Consideremos la función f(x) = √(x-3). En este caso, el dominio de la función está determinado por los valores de x para los cuales la raíz cuadrada de (x-3) está definida. Como la raíz cuadrada está definida para valores no negativos, el dominio de esta función sería x ≥ 3.

Para encontrar la imagen de la función, debemos encontrar los valores correspondientes de y. En este caso, la imagen de la función f(x) = √(x-3) está dada por el conjunto de valores de y que son iguales o mayores a cero, ya que la raíz cuadrada de un número no puede ser negativa. Por lo tanto, la imagen de esta función sería [0, +∞).

Ejemplo 2: Función f(x) = 2x - 1

Ahora consideremos la función f(x) = 2x - 1. En este caso, el dominio de la función es todo el conjunto de números reales, ya que no hay restricciones en los valores que puede tomar x.

Para encontrar la imagen de la función, simplemente sustituimos diferentes valores de x en la función y obtenemos los valores correspondientes de y. En este caso, cualquier número real puede ser obtenido como resultado de la función f(x) = 2x - 1. Por lo tanto, la imagen de esta función es el conjunto de números reales, es decir, Im(f) = ℝ.

Ejemplo 3: Función f(x) = 3x^2

Consideremos ahora la función f(x) = 3x^2. El dominio de esta función es nuevamente todo el conjunto de números reales, ya que no hay restricciones en los valores que puede tomar x.

Para encontrar la imagen de la función, sustituimos diferentes valores de x en la función y obtenemos los valores correspondientes de y. En este caso, el resultado de la función f(x) = 3x^2 será siempre un número no negativo, ya que cualquier número real al cuadrado es igual o mayor a cero. Por lo tanto, la imagen de esta función sería [0, +∞).

Ejemplo 4: Función f(x) = 1/x

Por último, consideremos la función f(x) = 1/x. En este caso, el dominio de la función está determinado por los valores de x para los cuales la división entre 1 y x está definida. Dado que la división entre cualquier número y cero no está definida, el dominio de esta función sería todo el conjunto de números reales excepto cero, es decir, x ≠ 0.

Para encontrar la imagen de la función, sustituimos diferentes valores de x en la función y obtenemos los valores correspondientes de y. En este caso, cualquier número real excepto cero puede ser obtenido como resultado de la función f(x) = 1/x. Por lo tanto, la imagen de esta función sería todo el conjunto de números reales excepto cero, es decir, Im(f) = ℝ - {0}.

El dominio de una función es el conjunto de valores para los cuales la función está definida. Al calcular la imagen de una función, es importante tener en cuenta las restricciones y propiedades de la función en cuestión.

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