Cómo identificar si una función es continua o discontinua

Cómo saber si una función es continua o discontinua

Una función es continua si su gráfica puede dibujarse de un solo trazo


Una función es continua si su gráfica puede dibujarse de un solo trazo, es decir, no hay puntos en los que exista un salto y la gráfica se rompa. Para determinar si una función es continua, se deben cumplir tres condiciones:

1. La función f existe en a, es decir, existe la imagen de a.
2. Existe el límite de f en el punto x = a.
3. La imagen de a y el límite de la función en a coinciden.

En caso de que en un punto x = a no se cumplan alguna de las tres condiciones anteriores, se dice que la función es discontinua en a.

Continuidad lateral por la izquierda y por la derecha

La continuidad de una función también puede analizarse de forma lateral, es decir, por la izquierda y por la derecha.

- Continuidad lateral por la izquierda: una función f es continua por la izquierda en a si el límite de f cuando x tiende a a por la izquierda es igual a f(a).

- Continuidad lateral por la derecha: una función f es continua por la derecha en a si el límite de f cuando x tiende a a por la derecha es igual a f(a).

Se pueden diferenciar cuatro casos dependiendo del tipo de intervalo:

1. En un intervalo abierto ]a,b[, la función f es continua si lo es en todos los puntos interiores del intervalo.
2. En un intervalo cerrado [a,b], la función f es continua si se cumplen ciertas condiciones en los extremos del intervalo.
3. En un intervalo abierto por la izquierda ]a,b] (no incluye a), la función f es continua si se cumplen ciertas condiciones en el extremo izquierdo.
4. En un intervalo abierto por la derecha [a,b[ (no incluye b), la función f es continua si se cumplen ciertas condiciones en el extremo derecho.

Propiedades de las funciones continuas

Las funciones continuas tienen varias propiedades importantes:

1. Una función es continua en los trozos donde está definida y en los puntos de división de los trozos.
2. Si f y g son funciones continuas, entonces f + g, f - g, f * g y f / g (siempre que g no sea cero) también son continuas.
3. Si f es continua y g es continua en el rango de f, entonces g(f(x)) es continua.

Discontinuidades en una función

Una función es discontinua en un punto si no se cumplen al menos una de las tres condiciones mencionadas anteriormente. Cuando una función es discontinua en un punto, pueden producirse tres tipos de discontinuidades:

1. Discontinuidad evitable: ocurre cuando el límite de la función existe pero no coincide con el valor de la función en ese punto.
2. Discontinuidad saltable: ocurre cuando el límite de la función existe pero hay un salto entre los valores de la función en ese punto.
3. Discontinuidad esencial: ocurre cuando no existe un límite lateral o no existen ambos límites laterales en ese punto.

El salto se define como la diferencia en valor absoluto de los límites laterales.

Ejemplos de continuidad y discontinuidad

- Una función es continua cuando su gráfica puede representarse de un solo trazo, sin levantar el lápiz del papel.
- Una función es continua en un punto si el límite de la función por ambos lados del punto coincide con su imagen en ese punto.
- Una función es discontinua en un punto si el límite de la función por ambos lados del punto no coincide con su imagen en ese punto.
- Una función es continua si es continua en todos los puntos de su dominio.

Algunos casos generales de continuidad son: las funciones polinómicas son continuas en todos los reales, las funciones racionales son continuas en los reales que no anulan su denominador, y las funciones logarítmicas son continuas en los reales que hacen su argumento positivo.

Se puede determinar la continuidad de una función raíz cuadrada al encontrar los puntos en los cuales el radicando es no negativo. La función definida a trozos es continua en cada intervalo donde se define como un polinomio, y puede tener puntos de discontinuidad en los extremos de los intervalos.

Identificación de puntos de discontinuidad

Para identificar gráficamente los puntos de discontinuidad en una función, es necesario observar cambios drásticos de valor, saltos o valores sin definir en la gráfica. En las funciones racionales de la forma f(x) = P(x)/Q(x), con P(x) y Q(x) lineales o cuadráticas, las discontinuidades se encuentran en los ceros de Q(x), ya que la división entre cero no está definida.

El número de discontinuidades será igual al número de soluciones de Q(x) = 0.

Las funciones continuas tienen propiedades específicas y las discontinuidades pueden manifestarse de diferentes formas en la gráfica.

Índice
  1. Cómo saber si una función es continua o discontinua
    1. Una función es continua si su gráfica puede dibujarse de un solo trazo
    2. Continuidad lateral por la izquierda y por la derecha
    3. Propiedades de las funciones continuas
    4. Discontinuidades en una función
    5. Ejemplos de continuidad y discontinuidad
    6. Identificación de puntos de discontinuidad

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