Cómo determinar la diferenciabilidad de una función: guía práctica

¿Cómo saber si una función es diferenciable?

El concepto de función diferenciable

El concepto de función diferenciable es una generalización del concepto de función derivable en varias variables. Mientras que una función derivable solo admite derivadas parciales en las direcciones de los ejes coordenados, una función diferenciable admite derivadas en cualquier dirección y puede aproximarse hasta primer orden por una aplicación afín.

La definición rigurosa de una función diferenciable

La definición rigurosa de una función diferenciable requiere conocimientos de álgebra lineal. Para que una función sea diferenciable en un punto, todas sus derivadas parciales deben existir en ese punto y ser continuas en un entorno del punto considerado. Es importante destacar que, aunque una función de varias variables pueda tener derivadas parciales, no implica necesariamente que sea una función diferenciable.

Visualización de una función diferenciable

Una función diferenciable puede ser visualizada como una "sábana" sin puntos "quebrados". Sin embargo, esta ilustración no siempre es aplicable, ya que existen funciones diferenciables con comportamientos más complejos.

Equivalencia entre ser derivable y ser diferenciable en funciones reales de una variable

En funciones reales de una variable, ser derivable y ser diferenciable son conceptos equivalentes. Si una función es derivable en un punto, entonces también es diferenciable en ese punto. Lo mismo ocurre en sentido contrario: si una función es diferenciable en un punto, también es derivable en dicho punto.

La existencia de derivadas no implica automáticamente la diferenciabilidad

En funciones de más de una variable, la existencia de derivadas parciales no implica automáticamente que la función sea diferenciable. Se pueden encontrar ejemplos de funciones que son continuas y tienen derivadas parciales, pero no son diferenciables. También existen funciones que no son continuas y, por lo tanto, no son diferenciables.

Formas de determinar si una función de múltiples variables es diferenciable

Existen tres formas de determinar si una función de múltiples variables es diferenciable:

1. Si una función es diferenciable en un punto, entonces es continua en dicho punto.
2. Si una función es diferenciable en un punto, entonces posee derivadas parciales en dicho punto.
3. Si las derivadas parciales existen y son continuas en un punto, entonces la función es diferenciable en ese punto.

Es importante tener en cuenta que las recíprocas de este teorema son falsas. Es decir, si una función no es continua en un punto, no es diferenciable en ese punto. Del mismo modo, si una función no posee derivadas parciales en un punto, no es diferenciable en ese punto. Además, si una función no es diferenciable en un punto, las derivadas parciales no necesariamente son continuas, aunque pueden existir.

Ejemplo de una función no diferenciable

Para ilustrar cómo determinar si una función es diferenciable en un punto, consideremos la función f(x, y) = |x| + |y|. Nos interesa determinar si esta función es diferenciable en su origen (0, 0).

Al analizar las derivadas parciales de esta función, se puede observar que no son continuas en el origen. Por lo tanto, la función no es continua en el origen y, consecuentemente, tampoco es diferenciable en ese punto.

Procedimiento general para determinar la diferenciabilidad de una función

En general, para determinar si una función es diferenciable en un punto, se deben seguir los siguientes pasos:

1. Calcular todas las derivadas parciales de la función en el punto considerado.
2. Verificar si las derivadas parciales existen en el punto.
3. Comprobar si las derivadas parciales son continuas en un entorno del punto.
4. Si se cumple que todas las derivadas parciales existen y son continuas, entonces la función es diferenciable en el punto.

Referencias

- Bombal, R. Marín & Vera: Problemas de Análisis matemático: Cálculo Diferencial, 1988, ed. AC, ISBN 84-7288-101-6.

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