Cómo calcular la continuidad de una función: ¡Aprende de manera sencilla y práctica!

¿Cómo se calcula la continuidad de una función?

Función continua: se puede representar su gráfica de un solo trazo

Una función se considera continua si su gráfica puede ser dibujada sin levantar el lápiz, es decir, de un solo trazo. Esto implica que no existen saltos, agujeros o quiebres en la gráfica.

Ejemplo de función continua: gráfica de una recta

Un ejemplo sencillo de función continua es la gráfica de una recta. La ecuación y = mx + b representa una recta donde m es la pendiente y b es el punto de corte en el eje y. Esta función es continua en todo su dominio, ya que no presenta ninguna discontinuidad.

Ejemplo de función no continua: gráfica que requiere dos trazos y es discontinua en x=0

Por otro lado, una función no continua es aquella que requiere más de un trazo para ser representada o que presenta discontinuidades en algún punto. Un ejemplo de función no continua es la función definida por partes:

  • Para x < 0: f(x) = -x
  • Para x ≥ 0: f(x) = x^2

En este caso, la gráfica de la función tiene dos trazos distintos y presenta una discontinuidad en x = 0, ya que los límites laterales no coinciden.

Función continua en un punto x=a: límite de la función por ambos lados de a coincide con su imagen f(a)

Cuando se habla de continuidad en un punto específico, se dice que una función es continua en ese punto si el límite de la función cuando x se acerca a ese punto desde ambos lados coincide con el valor de la función en ese punto.

Función discontinua en un punto x=a: límites laterales no coinciden o no existe f(a)

En contraste, una función es discontinua en un punto específico si los límites laterales no coinciden o si no existe el valor de la función en ese punto.

Función continua si es continua en todos los puntos de su dominio

Una función se considera continua si es continua en todos los puntos de su dominio, es decir, si cumple con la condición de continuidad en cada uno de sus puntos.

Ejemplos de funciones continuas: polinómicas, racionales (excepto donde el denominador se anula), logarítmicas (con argumento positivo)

Existen varios tipos de funciones que se consideran continuas en su dominio. Algunos ejemplos de funciones continuas son:

  • Funciones polinómicas: f(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_0
  • Funciones racionales: f(x) = p(x) / q(x), donde q(x) ≠ 0
  • Funciones logarítmicas: f(x) = log(a, x), donde a > 0 y x > 0

Es importante destacar que las funciones racionales son continuas en todos los puntos de su dominio, excepto donde el denominador se anule, ya que en esos puntos se produce una discontinuidad.

Determinar puntos de discontinuidad de funciones racionales: igualar a cero el denominador y resolver la ecuación

Para determinar los puntos de discontinuidad de una función racional, es necesario igualar a cero el denominador y resolver la ecuación resultante. Los valores que hagan que el denominador se anule serán los puntos de discontinuidad.

Ejemplo a) Punto de discontinuidad en x=-1

Consideremos la función racional f(x) = (x + 1) / (x^2 - 1). Para determinar los puntos de discontinuidad, igualamos a cero el denominador:

x^2 - 1 = 0

(x + 1)(x - 1) = 0

Obtenemos dos soluciones: x = -1 y x = 1. Por lo tanto, tenemos un punto de discontinuidad en x = -1.

Ejemplo b) Punto de discontinuidad en x=0

Tomemos la función racional g(x) = 1 / x. Igualamos a cero el denominador:

x = 0

En este caso, x = 0 es el único punto de discontinuidad.

Ejemplo c) Puntos de discontinuidad en x=2 y x=-1

Supongamos la función racional h(x) = (x - 2) / (x + 1). Igualamos a cero el denominador:

x + 1 = 0

Obtenemos x = -1 como un punto de discontinuidad.

Determinar puntos de continuidad de función raíz cuadrada: igualar a cero el radicando y hallar puntos donde es no negativo

Para determinar los puntos de continuidad de una función raíz cuadrada, es necesario igualar a cero el radicando y encontrar los puntos donde el radicando es no negativo.

Ejemplo: función continua en x=-2, x=2

Consideremos la función f(x) = √(4 - x^2). Igualamos a cero el radicando:

4 - x^2 = 0

Obtenemos x = -2 y x = 2 como soluciones. Estos son los puntos donde la función es continua.

Determinar puntos de discontinuidad de función definida a trozos: posibles candidatos son extremos de los intervalos

Cuando se trabaja con una función definida a trozos, es importante determinar los puntos de discontinuidad. Los posibles candidatos para puntos de discontinuidad son los extremos de los intervalos en los que está definida la función.

Ejemplo: punto de discontinuidad en x=0

Supongamos la función definida a trozos:

  • Para x < 0: f(x) = -x
  • Para x ≥ 0: f(x) = x^2

En este caso, el punto x = 0 es un candidato a punto de discontinuidad, ya que es el extremo del intervalo donde cambia la definición de la función. Al analizar los límites laterales, encontramos que no coinciden, por lo que x = 0 es un punto de discontinuidad.

Determinar valor del parámetro a para que función definida a trozos sea continua en todo R: límites laterales en x=1 deben coincidir con f(1)

Cuando se tiene una función definida a trozos con un parámetro, es posible determinar el valor del parámetro para que la función sea continua en todo R. Para ello, es necesario que los límites laterales en el punto de cambio de definición coincidan con el valor de la función en ese punto.

Ejemplo: función continua cuando a=5

Consideremos la función definida a trozos:

  • Para x < 1: f(x) = 2x - 1
  • Para x ≥ 1: f(x) = ax + 3

Para que la función sea continua en todo R, los límites laterales en x = 1 deben coincidir con f(1). Calculando los límites laterales:

Límite cuando x tiende a 1 por la izquierda: lim(x→1-) (2x - 1) = 2(1) - 1 = 1

Límite cuando x tiende a 1 por la derecha: lim(x→1+) (ax + 3) = a(1) + 3 = a + 3

Igualando los límites laterales al valor de la función en x = 1:

1 = a + 3

Obtenemos a = -2 como el valor del parámetro para que la función sea continua en todo R.

Puntos de discontinuidad de función tangente: coseno se anula en puntos múltiplos de pi

La función tangente tiene puntos de discontinuidad debido a que el coseno se anula en puntos múltiplos de pi. Estos puntos se llaman asíntotas verticales.

Gráfica de la función tangente

La gráfica de la función tangente presenta asíntotas verticales en los puntos donde el cos

Índice
  1. ¿Cómo se calcula la continuidad de una función?
    1. Función continua: se puede representar su gráfica de un solo trazo
    2. Ejemplo de función continua: gráfica de una recta
    3. Ejemplo de función no continua: gráfica que requiere dos trazos y es discontinua en x=0
    4. Función continua en un punto x=a: límite de la función por ambos lados de a coincide con su imagen f(a)
    5. Función discontinua en un punto x=a: límites laterales no coinciden o no existe f(a)
    6. Función continua si es continua en todos los puntos de su dominio
    7. Ejemplos de funciones continuas: polinómicas, racionales (excepto donde el denominador se anula), logarítmicas (con argumento positivo)
    8. Determinar puntos de discontinuidad de funciones racionales: igualar a cero el denominador y resolver la ecuación
    9. Ejemplo a) Punto de discontinuidad en x=-1
    10. Ejemplo b) Punto de discontinuidad en x=0
    11. Ejemplo c) Puntos de discontinuidad en x=2 y x=-1
    12. Determinar puntos de continuidad de función raíz cuadrada: igualar a cero el radicando y hallar puntos donde es no negativo
    13. Ejemplo: función continua en x=-2, x=2
    14. Determinar puntos de discontinuidad de función definida a trozos: posibles candidatos son extremos de los intervalos
    15. Ejemplo: punto de discontinuidad en x=0
    16. Determinar valor del parámetro a para que función definida a trozos sea continua en todo R: límites laterales en x=1 deben coincidir con f(1)
    17. Ejemplo: función continua cuando a=5
    18. Puntos de discontinuidad de función tangente: coseno se anula en puntos múltiplos de pi
    19. Gráfica de la función tangente

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