Cómo determinar si una función es derivable: una guía completa

¿Cómo saber si una función es derivable?

Introducción

La derivabilidad de una función es un concepto fundamental en el cálculo diferencial. Nos permite determinar si una función tiene una derivada en un punto específico. En este artículo, analizaremos las condiciones necesarias para que una función sea derivable y exploraremos ejemplos que ilustran diferentes escenarios.

Continuidad y derivabilidad

Si una función es derivable en un punto, entonces es continua en ese punto. Sin embargo, el recíproco no siempre es cierto. Es decir, existen funciones que son continuas en un punto pero no son derivables. Para comprender esto mejor, consideremos los siguientes ejemplos:

Ejemplo 1: La función no es continua ni derivable en cierto punto

Sea f(x) = |x| la función valor absoluto. En x = 0, esta función no es continua ni derivable, ya que tiene un "salto" en ese punto.

Ejemplo 2: La función es continua pero no es derivable en cierto punto

Sea f(x) = √x la función raíz cuadrada. Esta función es continua en x = 0, pero no es derivable en ese punto.

Ejemplo 3: La función es continua y derivable en cierto punto

Sea f(x) = x^2 la función cuadrática. Esta función es continua y derivable en todos los puntos del dominio.

Sin embargo, una función continua no necesariamente es derivable.

Cálculo de la derivada

Para determinar si una función es derivable en un punto, debemos calcular su continuidad y la derivada en ese punto. Existen condiciones específicas que deben cumplirse para que una función sea derivable:

- La función debe ser continua en el punto de interés.
- Las derivadas laterales (izquierda y derecha) deben ser iguales.

Ejemplo de estudio de la derivabilidad de una función definida a trozos

Consideremos la función f(x) definida a trozos de la siguiente manera:

```
f(x) = {
x^2, x < 1
2x, x ≥ 1
}
```

Primero, debemos analizar la continuidad de la función en los puntos de corte, en este caso, en x = 1. Para x < 1, la función es continua, ya que es una función polinomial. Para x ≥ 1, la función también es continua, ya que es una función lineal. Por lo tanto, podemos concluir que la función es continua en todos los puntos.

Luego, debemos calcular las derivadas laterales en el punto de interés x = 1. La derivada por la izquierda (x < 1) es f'(1-) = lim (x → 1-) (x^2)' = lim (x → 1-) 2x = 2. La derivada por la derecha (x ≥ 1) es f'(1+) = lim (x → 1+) (2x)' = lim (x → 1+) 2 = 2. Como las derivadas laterales coinciden, podemos afirmar que la función es derivable en x = 1.

Conclusiones

Es importante tener en cuenta que una función puede ser continua pero no derivable, como lo vimos en los ejemplos anteriores.

El estudio de la derivabilidad de una función implica analizar su dominio y, si es a trozos, examinar detalladamente los puntos de corte. Las funciones elementales, como las polinomiales y lineales, son derivables en todos los puntos de su dominio.

Si deseas profundizar en este tema, te recomendamos consultar vídeos tutoriales y ejercicios adicionales. La derivabilidad es un concepto fundamental en el cálculo diferencial y su comprensión es crucial para el estudio de otras ramas de las matemáticas y las ciencias.

Esperamos que este artículo te haya ayudado a comprender cómo determinar si una función es derivable y te haya brindado ejemplos claros para ilustrar diferentes escenarios.

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