Cómo calcular el recorrido de una función: una guía completa

Cómo se calcula el recorrido de una función

El recorrido de una función es el conjunto de resultados que se obtienen al evaluar los valores de la función en su dominio. En otras palabras, es el conjunto de valores que la variable dependiente puede tomar en función de los valores de la variable independiente.

Calculando el recorrido manualmente

Una forma de calcular el recorrido de una función es sustituyendo cada valor del dominio en la función y obteniendo los valores de salida. Por ejemplo, si tenemos la función f(x) = x^2, y queremos calcular su recorrido, podemos evaluar la función para diferentes valores de x.

Si sustituimos x = 1, obtenemos f(1) = 1^2 = 1. Si sustituimos x = -2, obtenemos f(-2) = (-2)^2 = 4. Podemos seguir evaluando la función para otros valores de x y obteniendo los correspondientes valores de salida.

Utilizando esta metodología, podemos obtener todos los valores que la función puede tomar en su recorrido.

Utilizando calculadoras

El cálculo del recorrido también se puede hacer de manera más rápida utilizando calculadoras o software matemático. Estas herramientas nos permiten ingresar la función y obtener directamente los valores del recorrido.

Cálculo del dominio de una función

Antes de calcular el recorrido de una función, es necesario calcular su dominio. El dominio de una función son los valores que la variable independiente puede tomar sin causar divisiones por cero o raíces negativas.

Por ejemplo, si tenemos la función g(x) = 1/x, el dominio sería todos los valores de x diferentes de cero, ya que no podemos dividir entre cero. Si tenemos la función h(x) = √x, el dominio serían todos los valores de x mayores o iguales a cero, ya que no podemos tomar la raíz cuadrada de un número negativo.

Cálculo del rango de una función

El rango o recorrido de una función es el conjunto de valores reales que toma la variable y o f(x). También se le conoce como conjunto imagen. Para calcular el rango, es necesario hallar el dominio de la función inversa.

Por ejemplo, si tenemos la función f(x) = x^2, su función inversa sería f^(-1)(x) = √x. Si calculamos el dominio de la función inversa, encontramos que el dominio es todos los valores de x mayores o iguales a cero. Por lo tanto, el rango de la función original sería todos los valores de y mayores o iguales a cero.

En este caso, el rango es {0, 1, 4, 9, ...}, ya que la función cuadrado puede tomar cualquier valor no negativo.

Dominio y recorrido de diferentes tipos de funciones

El cálculo del dominio y recorrido de una función puede variar dependiendo del tipo de función que estemos tratando. A continuación, se presentan las reglas generales para el dominio y recorrido de diferentes tipos de funciones:

• Funciones polinómicas: El dominio y recorrido de una función polinómica es todos los números reales, a menos que existan restricciones adicionales en la función.
• Funciones racionales: El dominio de una función racional se calcula encontrando los valores que hacen que el denominador sea cero, ya que no se pueden realizar divisiones por cero. El recorrido de una función racional se obtiene evaluando la función en su dominio.
• Funciones exponenciales: El dominio de una función exponencial es todos los números reales. El recorrido de una función exponencial depende del valor de la base y puede ser todos los números reales positivos o todos los números reales mayores a cero, dependiendo de la base.
• Funciones de parte entera: El dominio de una función de parte entera es todos los números reales. El recorrido de una función de parte entera es el conjunto de números enteros.

Ejemplos de dominio y recorrido de funciones

A continuación, se presentan algunos ejemplos de cómo determinar el dominio y recorrido de diferentes tipos de funciones:

Función polinómica

Consideremos la función f(x) = x^3 - 2x. El dominio de esta función es todos los números reales, ya que no existen restricciones adicionales en la función. El recorrido se puede calcular evaluando la función en su dominio.

Función racional

Tomemos la función g(x) = 1/(x - 2). El dominio de esta función sería todos los valores de x diferentes de 2, ya que no podemos dividir entre cero. El recorrido se obtiene evaluando la función en su dominio.

Función exponencial

Supongamos la función h(x) = 2^x. El dominio de esta función es todos los números reales. El recorrido de esta función sería todos los números reales mayores a cero, ya que la base es 2.

Función de parte entera

Consideremos la función i(x) = [x]. El dominio de esta función es todos los números reales. El recorrido de esta función sería el conjunto de números enteros, ya que la función devuelve la parte entera de cualquier número real.

Más problemas similares para determinar dominio y recorrido de funciones

Determinar el dominio y recorrido de funciones es una habilidad fundamental en matemáticas. A través de la práctica, es posible resolver una variedad de problemas similares a los ejemplos presentados anteriormente.

Al trabajar con diferentes tipos de funciones, es importante recordar las reglas generales para calcular el dominio y recorrido. Además, el uso de calculadoras y software matemático puede facilitar el proceso de cálculo.

Esto se puede hacer de manera manual, evaluando la función para diferentes valores de la variable independiente, o utilizando calculadoras o software matemático.

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