Integral definida

La integral definida es una herramienta fundamental en el cálculo integral. Nos permite calcular el área limitada entre la gráfica de una función, el eje de abscisas y las rectas verticales. Se representa por el símbolo ∫ y tiene límites de integración, a y b. La integral definida se realiza sobre una función, llamada integrando.

Propiedades de la integral definida

La integral definida tiene varias propiedades que nos permiten realizar operaciones y simplificar cálculos:

• Cambio de signo: al permutar los límites de integración, la integral cambia de signo.
• Valor cero: si los límites de integración coinciden, el valor de la integral es cero.
• Descomposición en suma de integrales: podemos descomponer una integral definida en la suma de varias integrales.
• Integral de una suma de funciones: la integral de una suma de funciones es igual a la suma de las integrales de cada función.
• Integral del producto de una constante por una función: podemos sacar una constante fuera de la integral y multiplicarla por la integral de la función.

Regla de Barrow

La regla de Barrow establece que la integral definida de una función continua en un intervalo cerrado es igual a la diferencia entre los valores que toma una función primitiva en los extremos del intervalo. Esta regla nos permite calcular la integral definida de una función de manera más sencilla.

Teorema fundamental del cálculo

El teorema fundamental del cálculo establece que la derivación e integración son operaciones inversas. Esto significa que si tenemos una función y la integramos, y luego derivamos el resultado, obtendremos nuevamente la función original.

Teorema de la media o del valor medio para integrales

El teorema de la media o del valor medio para integrales establece que, para cualquier función continua en un intervalo, existe al menos un punto en el intervalo en el que la función alcanza su valor medio. Este teorema nos permite encontrar el valor promedio de una función en un intervalo.

Función integral

La función integral se define a partir de una función continua en un intervalo. Representa el área del recinto limitado por la curva de la función, el eje de abscisas y las rectas verticales que delimitan el intervalo.

Existen diferentes herramientas y plataformas que nos pueden ayudar en el estudio y cálculo de integrales definidas. Una de ellas es la plataforma Apuntes, que ofrece teoría y ejercicios interactivos de matemáticas. En esta plataforma podemos encontrar ayuda en caso de dudas, pero es importante resaltar que no se resuelven ejercicios sin que el estudiante haya intentado resolverlos.

A continuación, presentaremos algunos ejemplos de ejercicios de integración:

• Obtener la integral definida inmediata de una función algebraica.
• Calcular la integral definida de una función trigonométrica.
• Resolver la integral definida de una función exponencial.

El cálculo de la integral definida se realiza sin tener en cuenta los límites de integración. Para evaluar el resultado de la integral, simplemente restamos el valor obtenido al sustituir el límite de integración inferior al del límite de integración superior.

Nos permite calcular el área limitada por una función, el eje de abscisas y las rectas verticales. Tiene propiedades que facilitan los cálculos y se relaciona con el teorema fundamental del cálculo. La función integral representa el área del recinto limitado por la curva de una función. Existen plataformas y recursos disponibles para ayudarnos en el estudio y cálculo de integrales definidas.

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